Teorema de la Probabilidad Total
 

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B, es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A por la probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: 

1. Al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir sello" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%.

2. Al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

 Ejercicio:

 En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:

a) Amarilla: probabilidad del 50%.

b) Verde: probabilidad del 30%

c) Roja: probabilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es:

a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.

b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%

c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%

¿Qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?

 Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%

 Aplicamos la fórmula:

Luego sustituimos:

 

P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54

Respuesta:

Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.